Утром обнаружил машину помятой во дворе - виновник уже уехал. Что делать в первую очередь?

Это дорожно-транспортное происшествие в полном смысле, даже если вы не видели сам момент удара, а второй автомобиль уже уехал - формально виновник скрылся с места ДТП. Действовать нужно как при обычной аварии, с поправкой на то, что доказательства придётся собирать постфактум. Первое правило - не трогайте и не перемещайте свою машину, пока не приедет наряд, даже если очень хочется поставить её нормально: место, где обнаружили повреждения, фиксируется точно так же, как место столкновения, и там же будет зафиксирован причинённый вред.

Звоните в ГИБДД, а не только в дежурную часть полиции - именно сотрудник Госавтоинспекции оформляет происшествие, составляет протокол и выдаёт справку о ДТП, этот документ дальше понадобится для страховой. Европротокол тут не подойдёт при всём желании: он оформляется только когда оба участника на месте и согласны с обстоятельствами, а у вас второй участник отсутствует физически.

Пока ждёте инспектора, соберите то, что можно: сфотографируйте повреждения со всех сторон и общий план места, где стояла машина. Спросите у соседей и охраны двора, работают ли камеры - на шлагбауме, на подъездах, у ближайших домов. Запрос записи как частному лицу часто отказывают, а по запросу ГИБДД или полиции их обязаны предоставить, так что сразу укажите инспектору, где могут быть камеры - это его задача сделать официальный запрос, а не ваша.

Дальше два сценария. Если виновника установят - по записям с камер, по свидетелям или по осколкам и краске на месте - ущерб компенсирует его страховая по ОСАГО, как в обычном ДТП. Если найти не получится, дело по факту скрывшегося водителя, скорее всего, приостановят, а возместить повреждения через ОСАГО не выйдет: полис виновника нужен для выплаты, а без установленной личности виновника выплату оформить некому. В этом случае единственный реальный вариант - КАСКО, если оно у вас есть.