Можно ли подать заявление на увольнение прямо во время отпуска и не отрабатывать после?

Заявление можно подать в любой день отпуска, закон это не запрещает, а сама отработка формально начинает течь со следующего дня после того, как работодатель его получил, независимо от того, работаете вы фактически или отдыхаете. Если до конца вашего отпуска остается 14 календарных дней или больше, к моменту выхода отпуск уже полностью погасит срок предупреждения, и выходить на работу для отработки не придется вовсе.

Отправить заявление удобнее заказным письмом с уведомлением или через кадровый электронный документооборот, если он есть у работодателя, чтобы дата получения фиксировалась официально - именно от нее считается срок предупреждения по ст. 80 ТК РФ. Если до конца отпуска остается меньше двух недель, недостающие дни формально нужно отработать после выхода, но их обычно закрывают оставшимися неиспользованными днями отпуска или договариваются с работодателем о более ранней дате по соглашению сторон.

Отдельный вариант - оформить отпуск с последующим увольнением по ст. 127 ТК РФ: тогда последним рабочим днем считается день перед началом отпуска, а датой увольнения - последний день отпуска, и выходить на работу вообще не нужно. Для этого пишут отдельное заявление с такой формулировкой заранее, обычно до ухода в отпуск. Работодатель обязан уволить вас, оформить приказ, произвести расчет и выдать документы (трудовую книжку или сведения о трудовой деятельности) в последний рабочий день, а не в календарную дату конца отпуска - это стоит уточнить в отделе кадров заранее, чтобы не пришлось приезжать за документами отдельно.